中国古代数学家名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为

Question

中国古代数学家名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE、CDEF为两个全等的等腰梯形，AB=4，EF

∥

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(1)/(2)AB，若这个刍甍的体积为(40)/(3)，则异面直线AB与CF所成角的余弦值为（　　）

A.

(1)/(3)

B.

(2)/(3)

C.

(√(5))/(3)

D.

(2√(2))/(3)

Answer 1

取CD，AB的中点M，N，连接FM，FN，
则多面体分割为棱柱与棱锥两个部分，
设E到平面ABCD的距离为h，
则(1)/(2)×4×h×2+(1)/(3)×4×2×h=(40)/(3)，
∴h=2，
∵CN=√(16+4)=2√(5)，∴CF=√(5+4)=3，
∵CD∥AB，
∴∠FCD为异面直线AB与CF所成角，
△FCM中，FM=FC=3，CM=2，
∴cos∠FCD=(9+4-9)/(2×3×2)=(1)/(3)，
故选A．