刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球

Question

刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4：π，即V_牟：V_球=4：π．也导出了“牟合方盖”的

(1)/(8)体积计算公式，即(1)/(8)V_牟=r³-V_方盖差，从而计算出V_球=(4)/(3)πr3．记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V_正，则（　　）

A. V_方盖差>V_正

B. V_方盖差=V_正

C. V_方盖差<V_正

D. 以上三种情况都有可能

Answer 1

由题意，V_方盖差=r³-(1)/(8)V_牟=r³-(1)/(8)×(4)/(π)×(4)/(3)πr3=(1)/(3)r³，
所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V_正=(1)/(3)×r×r×√(r2-((√(2))/(2)r)2)=(√(2))/(6)r³，
∴V_方盖差>V_正．
故选：A．