一道比较有难度的圆锥曲线题已知椭圆长轴长为4,短轴长为2倍根号2,焦点在X轴上,已知两动点P,Q及定点M[1,二分之根号六],F是左焦点,PF,MF,QF成等差数列.求证PQ的垂直平分线经过一个定点A.设点A

Question

一道比较有难度的圆锥曲线题
已知椭圆长轴长为4,短轴长为2倍根号2 ,焦点在X轴上,已知两动点P,Q及定点M[1,二分之根号六],F是左焦点,PF,MF,QF成等差数列.求证PQ的垂直平分线经过一个定点A.设点A关于原点O的对称点是B,求PB的最小值及P的坐标

Answer 1

[注：LZ,两动点P,Q应在椭圆上,不然无法做啊.以下设动点在椭圆上.易知,椭圆方程为（x^2)+2(y^2)=4.F(-√2,0),设点P(x1,y1),Q(x2,y2).(1).代入椭圆方程,得,(x1^2)+2(y1^2)=4.(x2^2)+2(y2^2)=4.两式相减,整理得,(y2-y1)/(x2-x1)=-(x2+x1)/[2(y2+y1)].由此可得PQ中垂线方程,2y=(y2+y1)*{[4x/(x1+x2)]-1}.故中垂线必过点（（x1+x2)/4,0).(2).易知.2|MF|=4+√2.由椭圆第2定义可得,|PF|=2+ex1,|QF|=2+ex2.由题设有2|MF|=|PF|+|QF|,===>4+e(x1+x2)=4+√2.===>x1+x2=2,结合前面可知,中垂线必过定点A(1/2,0).(3),易知,点B（-1/2,0).设点P(2cost,(√2)sint).|PB|^2=2[cost+(1/2)]^2+(7/4).===>|PB|min=(√7)/2.此时,点P(-1,±(√6)/2).