高难度数学问题,高手进!F是一个多项式,我们所知道的是其中的所有系数都是正整数,F(1)=6,F（7）=3438求F（3）?略写过程,谢谢

Question

高难度数学问题,高手进!
F是一个多项式,我们所知道的是其中的所有系数都是正整数,F(1)=6,F（7）=3438
求F（3）?
略写过程,谢谢

Answer 1

如F为关于x的多项式,用待定系数法,设x^k的系数为[a(k)],（[a(k)]代表的是k为a的下标,即数列形式的一组数的第k项.）
设F(x)= [a(n)]x^n + [a(n-1)]x^(n-1) + ...+ [a(1)]x + [a(0)]
x=1带入F(x)的表达式有：
F(1)=[a(n)]+ [a(n-1)] + ...+ [a(1)] + [a(0)] = ∑[a(n)] = 6 …………记为(1)
x=7带入F(x)的表达式有：
F(7)= [a(n)]*7^n + [a(n-1)]*7^(n-1) + ...+[a(2)]*7^2 + [a(1)]*7 + [a(0)]
=7{[a(n)]*7(n-1) + [a(n-1)]*7^(n-2) + ...+[a(2)]*7 + [a(1)]} + [a(0)]
=3438……………………记为(2)
而注意到3438=7*491 + 1
是不能被7除尽的,余数为1.所以可以知道[a(0)]除以7的余数为1
又由(1)式中∑[a(n)] = 6,而[a(n)]都是正整数,可以知道只能有：
【[a(0)]=1】
下面进一步计算：
[a(1)]+[a(2)]+...+[a(n)]=5
F(7)= [a(n)]*7^n + [a(n-1)]*7^(n-1) + ...+[a(2)]*7^2 + [a(1)]*7 + 1=3438
所以[a(n)]*7^n + [a(n-1)]*7^(n-1) + ...+[a(2)]*7^2 + [a(1)]*7 =3437
左右同时除以7：有 [a(n)]*7(n-1) + [a(n-1)]*7^(n-2) + ...+[a(2)]*7 + [a(1)] = 491 = 7*70 + 1
用与上面确定[a(0)]的相同的方法可以确定
【[a(1)]=1】
继续：
[a(2)]+...+[a(n)]=4
且[a(n)]*7(n-1) + [a(n-1)]*7^(n-2) + ...+[a(2)]*7 + 1= 491
所以[a(n)]*7(n-1) + [a(n-1)]*7^(n-2) + ...+[a(2)]*7=490
左右同时除以7：有[a(n)]*7(n-2) + [a(n-1)]*7^(n-3) + ...+[a(3)]*7 + [a(2)] = 70 = 7*10
那么判断出除去[a(2)]的其余项都是被7整除的,于是【[a(2)]=0】
继续：
[a(3)]+...+[a(n)]=4
[a(n)]*7(n-2) + [a(n-1)]*7^(n-3) + ...+[a(3)]*7 =70
两边同除7,[a(n)]*7(n-3) + [a(n-1)]*7^(n-4) + ...+[a(4)]*7 + [a(3)] = 10 =7+3
于是很显然【[a(3)]=3】
自然剩下一个大于3的某m 有[a(m)]=1,而其他项系数均为0.
至此,F可以表达为：【F(x)=[a(m)]*x^m + 3x^3 + x + 1】
再一次把7带入：F(7)=7^m + 3*7^3 + 7+ 1 = [a(m)]*7^m + 1037 = 3438
于是7^m = 2041,m=4
确定：
【F(x) = x^4 + 3x^3 + x +1】
x=3时
F(3)=3^4 + 3*3^4 +3 +1=166