求limx→0+x^sinx的极限求详解

Question

求limx→0+x^sinx的极限
求详解

Answer 1

这是未定式0^0型.
设y=x^sinx,取对数得,lny=sinx lnx,
所以 lny=（lnx）/（1/sinx）,
因为 当x→0时,sinx～x ,
所以 当x→0时,limlny=lim[(lnx)/(1/sinx)]
=lim[(lnx)/(1/x)]
根据洛必达法则,limlny=lim[(lnx)/(1/x)]
=lim[(1/x)/(-1/x^2)]=lim(-x)=0 (当x→0时).
因为 y=e^lny,而lim y=lim e^lny=e^lim lny(当x→0时),
所以 lim x^sinx=lim y=e^0=1.