设α=121，β=1120，γ=008，A=αβT，B=βTα，其中βT是β的转置．求解方程2B2A2x=A4x+B4x+γ．

Question

设α=

1

2

1

，β=

1

(1)/(2)

0

，γ=

0

0

8

，A=αβ^T，B=β^Tα，其中β^T是β的转置．求解方程2B²A²x=A⁴x+B⁴x+γ．

Answer 1

注意到αβ^T是一个3×3的矩阵，B=β^Tα是一个数值，
通过计算得：
β^Tα=2，αβ^T=

1	(1)/(2)	0
2	1	0
1	(1)/(2)	0

，
故：B=β^Tα=2，B²=4，B⁴=16，
而：A²=（αβ^T）（αβ^T）=α（β^Tα）β^T=2αβ^T，
A⁴=（2αβ^T）（2αβ^T）=4（αβ^T）（αβ^T）=4α（β^Tα）β^T=8αβ^T，
所以：
2B²A² =16αβ^T=16

1	(1)/(2)	0
2	1	0
1	(1)/(2)	0

，A⁴=8αβ^T=8

1	(1)/(2)	0
2	1	0
1	(1)/(2)	0

，
整理化简后，所求方程组变为：

−x1+(1)/(2)x2＝0

2x1−x2＝0

x1+(1)/(2)x2−2x3＝1

，①
求解其对应的齐次方程组，
可得通ξ=k

1

2

1

，
而非齐次线性方程组的一个特解为：
η^*=

0

0

−(1)/(2)

，
故①的解为：
x=ξ+η^*=k

1

2

1

+

0

0

−(1)/(2)

．