地图颜色填充中的数学我们看到地图上面都有不同的颜色表示不同的国家或地区,目的是为了让接壤的国家用不同的颜色表示就可以区分开来.那么一张地图上的颜色数目的安排有什么奥秘吗?

Question

地图颜色填充中的数学
我们看到地图上面都有不同的颜色表示不同的国家或地区,目的是为了让接壤的国家用不同的颜色表示就可以区分开来.那么一张地图上的颜色数目的安排有什么奥秘吗?是不是运用了什么数学知识呢?请给出分析,

Answer 1

在19世纪中期,一位欧洲学生在给地图着色时,发现了一个十分奇怪而有趣的现象,那就是无论多么复杂的地图,只用四种颜色就能使得两个相邻地区的颜色不同.他把这种发现告诉了英国当时著名的数学家摩尔根,摩尔根对此很感兴趣,想用数学的方法给出证明,可是无论如何也证不出来,于是这个问题后来便成为世界数学史上的名题和难题,许多数学家都争着去证明它,但证明了一百多年还是没有结果,四色问题还是困绕着世界数学界.
至到本世纪70年代,美国数学家阿沛尔和哈肯,用电子计算机,对“四色问题”进行了数学归纳法的证明.他们假设：若一个图不能够嵌入一个不可能四着色的图里面,那么这个图一定是可以四着色的.于是他们两人从十万多张不同的地图中挑选出近两千多张输入电子计算机,对每一张地图都使用了二十万种可能的着色方法,作出了两百亿个逻辑判定,经过一千二百多个小时,终于在1976年证明出来,从此困绕数学界多年的“四色问题”得到最终解决.
“四色问题”的圆满解决,为人类解决各种各样的问题提供了方法论,极大地丰富了数学理论和数学方法,开拓了人类运用电子计算机的新领域,这些成果广泛地应用到人类的生产和生活的方方面面,极大地推动了数学这门学科在生产和实践上的广泛应用.
如果世界各国都是隔离的.那么世界地图只需要一种颜色就能隔离所有国家.
如果各个国家最多只有两个是相邻的,那么需要两种颜色就OK了.
如果是三个国家相邻呢?
[3-1]如果三个中有两个是不接触的（1跟2接触,2跟3接触,1跟3不接触）,
那么需要两种颜色就OK了（第3号国家可以与第1号一个颜色）.
[3-2]如果三个国家是互相都接触着的
（像是一块月饼平分成三个,中心角度为120度的扇形那样.123都是接触的.）,
那么,需要三种颜色就OK了.
而三个国家相邻的时候,只能分成以上两种情况.
四个国家相邻的时候,等于是三个国家在加上第四个国家.
在[3-1]上加一个国家,得到5种情况：
[4-1]4跟1接触,或4跟3接触.只需要两种颜色.
[4-2]4跟2接触.需要两种颜色.
[4-3]4跟12接触,或4跟23接触.需要三种颜色.
[4-4]4跟13接触.需要三种颜色.
[4-5]4跟123都接触.需要四种颜色.
在[3-2]上加一个国家,得到4种情况：
[4-6]4只跟123中的一个接触,结果回到[4-3]
[4-7]4跟123中的两个接触,结果回到[4-4]
[4-8]4跟123都接触,且4被123包围.跟[4-5]不一样,但也需要四种颜色.
[4-9]4跟123都接触,但4不被123包围.这时候有点问题.
4已经跟123中的两个接触,但还要跟剩下的一个也接触,
会导致123中的一个被另外两个加上4,这三个包围.
这样还是回到[4-8],4个里有一个被其他三个包围的情况.
这样总结起来,只有[4-5][4-8][4-9]是用到4种颜色的.
但是,[4-8][4-9]都有一个特点：“有一个被包围了”.
被包围,说明不能在跟第五个国家接触,就等于少了一个,
就等于对第五个以后（包括第五个）的国家来说不负存在.
这样,这4个国家就回到了3个国家的情况了.
要想用到第五个颜色,突破口只有一个：[4-5]123三个串联,4跟123并联.
然后第五个国家接触1234.（当然,这会导致1234中有一个被其他3个加上5,这四个国家包围）
这样才能得到“使用五中颜色”的情况.
剩下的,就只是地理知识了.
当今世界国,家分界的结果,没有任何5个国家能满足以上条件：
“三个国家串联,且这三个跟第四个并联.然后这四个国家被第五个国家包围或半包围.”
但是,如果世界重新划分,出现了以上情况,那么
到时候世界地图就是“五中颜色”的了!