几何学的发展历史?意义?贡献?几何学的发展历史?意义?贡献是什么啊?还有微积分的发展历史?意义?贡献是什么啊?

Question

几何学的发展历史?意义?贡献?
几何学的发展历史?意义?贡献是什么啊?
还有微积分的发展历史?意义?贡献是什么啊?

Answer 1

几何学是一门研究『空间』与『移动』的学问.这里的『空间』指的是正统的『几何空间』,
包括各种具体或抽象的几何图形,甚至是整个宇宙空间的几何构造;而『移动』则是这些几何空
间的表现,例如:平移,旋转, 对称,波动等等.因此,几何学可说是真实世界与抽象世界的舞
台与演员的演出.而数学家Descartes (笛卡儿, 1596 1650)曾说:『人类心智与生俱来有完
美,空间,时间和运动等观念.』 不论是实际生活上为了丈量与计算的需要,或是对於宇宙空间
的好奇与探索,亦或是对於『美』的追求,自从人类开始生活在地球上,几何概念的演进便未曾
停歇.而几何学的发展,也使人类开始真正认识我们所生存的宇宙空间.
影响几何学发展的重要思想
在孕育出有如巨大神木之现代几何学的过程中,许多重要的理论是这棵几何神木的主要枝
干.以作者的观点,我们将其由古至今,总括为以下25个:
1. 的概念的形成.2.毕氏定理.3.欧基理德几何原本及其影响.4.柏拉图的五个正立方体.
5.阿基米德的球体积的推导.6.祖冲之原理.7.笛卡儿的座标系统.8.牛顿,莱布尼兹的微
积分发明.9.高斯的优美定理,Gauss-Bonnet定理.10.非欧几何的发展与黎曼的内在几何
观.11. Lagarange的变分法及Laplace的天体力学.12.尤拉数与波动方程.13. Klein's
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几何学发展史简介25
program.14.庞加莱平面及基本群.15. Hilbert的几何基础.16.爱因斯坦的广义相对论.
17. de Rham cohomology,Hodge理论及Cartan的微分形式观点.18.陈省身的特徵类
与Chern-Weil, Chern-Simon理论.19. Rauch比较定理.20. Atiyah-Singer指标定理.
21.丘成桐教授所代表的几何分析.22. Donaldson, Seiberg-Witten理论.23. M. Gromov
的辛几何.24. Mandelbrot的碎形几何与混沌理论.以及电脑时代的产物-25.计算几何的
发展,这可能是本世纪最为重要的.
以下我们由思想的演进以及人类在几何观点上的变化,从上述的重要思想理论中,再挑出
十个做较为深入的探讨.从作者的角度来看,这十个思想代表了整个几何发展的主轴.它们分别
是:
一. Pythagoras (毕达哥拉斯,约西元前6世纪) :毕氏定理.
毕氏定理又称为『商高定理』,在小学的数学教材内即有收录.这个在现在看起来相当容易
理解的定理却可视为一个文明能否发展的重要指标.简单的说,由於毕氏定理的提出,显示人类
已经能够『初步地掌握方向的变化』.两千六百年前的人已经知道,如果从起点开始向东走四步,
再向北走三步,则最后到达的地方与原出发点的距离为五步之遥.也就是说我们已经会变化方
向,而不再只是单线的在前进.有了这样的概念,三角形中的正弦定理,余弦定里就可以被推导
出来,并可被运用来测量距离,造桥,筑屋及计算炮弹射程等等.
二. Euclid (欧基理德,约西元前300 260) :几何原本.
Archimedes (阿基米德,约西元前287 212) :级数和,球体积.
欧基理德的几何原本(The Elements)总结了希腊时代的数学成果.它被认为是西方科
学发展异於东方科学的最大特色.在书中推导出许多现存於中学数学教材内的重要结果,例如
像毕氏定理,三角形内角和等於180度等等,而推出这些结果的主要依据,则是像下面几个基本
的几何公设:
五大几何公设
1 .过相异两点,能作且只能作一直线(直线公理).
2.线段(有限直线)可以任意地延长.
3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆(圆公理).
4.凡是直角都相等(角公理).
5.两直线被第三条直线所截,如果同侧两内角和小於两个直角,则两直线作延长时在此侧
会相交.
26数学传播28卷1期 民93年3月
其中第五公设又叫做『平行公设(the parallel axiom)』,因为它等价於:
5'.在一平面内,过直线外一点,可作且只可作一直线跟此直线平行.
奥瑟曼教授对於这本在两千三百多年前完成的书有很高的评价,他的评价是: (参见[3],
p.69 p.70)
它给了相当的『确定感』;
它的方法具有强大的威力;
证明方法展现高妙的才智;
几何图形的美感.
也许以现代的角度看来,几何原本所提及的仅是相当基础的内容,但是在两千两百多年以
前,人类却能以这些简单的知识,加上对天文的观测,巧妙地测量出地球的长度.埃拉托斯特尼
(Eratosthenes,约西元前270-190)采用了如下的做法:距离当时的亚历山大城正南方500英
哩处有一座亚斯文城,这个城市有著相当特殊的地理位置,它与我们的嘉义市相同,位於北回归
线上.所以在亚斯文城的地面上插上一根旗竿,观察每天正午竿影的长度,我们可以确定一年中
夏至(太阳直射北回归线)的时间.埃拉托斯特尼在夏至的正午时分,同时在亚历山大城与亚斯
文城插上一根旗竿,并且测量出旗竿与太阳光线所夹的角度大约是圆周长的50分之一,因而算
出地球的周长大概是500×50 = 2500 (英哩).这已经是相当精确的数值.在那个大多数人
认为地表是平坦的年代,只用一些简单的数学理论及天文知识,却可以把地球的大小测量出来.
在希腊时代,人类可以处理一些非常正规的图形.到了阿基米德的时代,他利用杠杆原理
来推导球的体积.除此之外,阿基米德对於弯曲的几何形体也有初步的掌握.例如他用无穷级数
和的方法能够求得直线与抛物线围成的区域面积大概有多大.另一方面,在大约西元五世纪时,
中国数学家祖冲之利用所谓的祖冲之原理『若两立体在等高处截的面积一样,则这两个立体的
体积相等』,也可以推算出球的体积.虽然这些问题在微积分出现之后就变得相当容易解决,但
是在微积分诞生之前人类就有这样的概念,其实是相当伟大的.
三. Descartes (笛卡儿, 1596 1650) :座标系统.
根据科学演进的过程看来,笛卡儿的座标系统可说是西方科学发展的重要里程碑.在一个
抽象的平面上建立一个直角座标系统X与Y,精确地描述每一个点的位置,这样的概念对现
在的国中生来说,是相当容易理解的,也觉得很容易学,但是它却有划时代的作用.在希腊时代,
人类处理几何的问题,只能以图形的角度出发,透过作图,画辅助线等方式来决定诸如是否等分
或是否垂直等问题.但是这个座标系统一给定之后,我们便可以把几何问题代数化.例如,在笛
卡儿之前所了解的直线或圆只是一个图像,但是有了座标系统之后,我们可以用方程式很精确
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地把它们描述出来,也可以很清楚的知道它们的相交状况.除了把几何图像转换成可操作的数
字之外,笛卡儿的座标系统同时说明了数字的问题也有其几何意义.