5个球面最多把空间分成多少部分?5个球面最多可以把空间分成多少部分?

Question

5个球面最多把空间分成多少部分?
5个球面最多可以把空间分成多少部分?

Answer 1

答案是别人的 只是引用过来
我在爱问中曾经回答过此类问题.
先解答n个圆最多将平面分成几部分?
这个问题的推导方法是递推,先看多加一个圆后增加了多少个交点,在K个圆上再加一个圆至多能增加2K个交点,又增加n个交点就多了n块区域,故在K个圆上再加一个圆至多能增加2K块区域.所以一个圆最多分2部分,两个圆最多分2+2=4部分,三个圆最多分4+4=8部分,四个圆最多分8+6=14部分,五个圆最多分14+8=22部分,六个圆最多分22+10=32部分.
推广到n个圆,n个圆最多将平面分成
2+2(1+2+3+…+n-1)=2+n(n-1)=n^2-n+2部分.
再回答N个球面最多将空间分成几部分?
这个问题的推导方法仍然是递推,先看多加一个球面后能增加多少个部分,在已有N-1个球面基础上再加一个球面,这个球面至多能被这N-1个球面划分成(N-1)^2-(N-1)+2（参见n个圆最多将平面分成几部分?中的结论）块区域,其中每块区域都将其所在的原来那部分空间一分为二,故在已有N-1个球面基础上再加一个球面,这个球面至多增加(N-1)^2-(N-1)+2块空间区域.所以一个球面最多分2部分,两个球面最多分2+2=4部分,三个球面最多分4+4=8部分,四个球面最多分8+8=16部分,五个球面最多分16+14=30部分,六个球面最多分30+22=52部分.
推广到N个球面,N个球面最多将空间分成
2+(1^2-1+2)+ (2^2-2+2)+…+ ((N-1)^2-(N-1)+2)
=N(N^2-3N+8)/3部分.