（2008•南京模拟）选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC中，∠A=60°，AB＞AC，点O是外心，两条高BE，CF交于H点，点M，N分别在线段BH，FH上，且满足BM=CN，求MH+NHOH的值．

Question

（2008•南京模拟）选修4-1：几何证明选讲
如图，在△ABC中，∠A=60°，AB＞AC，点O是外心，两条高 BE，CF交于H点，点M，N分别在线段BH，FH上，且满足BM=CN，求(MH+NH)/(OH)的值．

Answer 1

如图在BE上取BK=CH，连接OB、OC、OK，
由三角形的外心的性质可知：∠BOC=2∠A=120°，
由三角形的垂心性质可知：∠BHC=180°-∠A=120°，
所以∠BOC=∠BHC，所以B、C、H、O四点共圆，∠OBH=∠OCH，…（3分）
又因为OB=OC，BK=CH，所以△BOK≌△COH，
因为∠BOK=∠COH，OK=OH，所以∠KOH=∠BOC=120°，∠OKH=∠OHK=30°，…（6分）
观察△OKH，有：(KH)/(sin120°)=(OH)/(sin30°)，则KH=√(3)OH，
又因为BM=CN，BK=CH，所以KM=NH，所以MH+NH=MH+KM=KH=√(3)OH，
故(MH+NH)/(OH)=√(3)．…（8分）