还是平面几何题P为三角形ABC内一点,直线AC,BP相交于Q,直线AB,CP相交于R．已知AR＝RB＝CP,CQ＝PQ,求角BRC．

Question

还是平面几何题
P为三角形ABC内一点,直线AC,BP相交于Q,直线AB,CP相交于R．已知AR＝RB＝CP,CQ＝PQ,求角BRC．

Answer 1

作AM=AR=BR,交CR于M.连AP并延长交BC于N,连QN.
根据塞瓦定理,AR*BN*CQ/RB*NC*QA=1,所以BN/NC=AQ/QC,所以QN//AB,
所以QP/BP=QN/BA=QC/AC=QP/AC,所以BP=AC,
又因为三角形RAM为等腰三角形,所以角ARM=角AMR,所以角BRP=角AMC,
且有BP=AC,BR=AM,所以三角形BRP全等于三角形AMC,
所以RP=MC,所RM=CP=AR=AM,所以三角形ARM为等边三角形,
所以角ARM=60度,所以角BRC=120度.