（2014•贵州二模）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，

Question

（2014•贵州二模）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线的方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标是（　　）

A．（-4，0）
B．（0，-4）
C．（4，0）
D．（4，0）或（-4，0）

Answer 1

设C（m，n），由重心坐标公式得，
三角形ABC的重心为（(2+m)/(3)，(4+n)/(3)），
代入欧拉线方程得：(2+m)/(3)−(4+n)/(3)+2＝0，
整理得：m-n+4=0  ①
AB的中点为（1，2），kAB＝(4−0)/(0−2)＝−2，
AB的中垂线方程为y-2=(1)/(2)（x-1），即x-2y+3=0．
联立

x−2y+3＝0

x−y+2＝0

，解得

x＝−1

y＝1

．
∴△ABC的外心为（-1，1）．
则（m+1）²+（n-1）²=3²+1²=10，
整理得：m²+n²+2m-2n=8  ②
联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．
当m=0，n=4时B，C重合，舍去．
∴顶点C的坐标是（-4，0）．
故选：A．