某同学为测量某种油的密度，找到一个特殊的平底试管，该试管内、外截面均匀，管壁有一定厚度，试管底部很薄其厚度可以不计，实验室有以下器材：盛水大容器、尺、滴管、作图用坐标

Question

某同学为测量某种油的密度，找到一个特殊的平底试管，该试管内、外截面均匀，管壁有一定厚度，试管底部很薄其厚度可以不计，实验室有以下器材：盛水大容器、尺、滴管、作图用坐标纸、吸水棉和吸水纸、蒸馏水、装在塑料杯内的待测密度的油．他按照如下的方法进行测量：

（1）如图甲所示，将试管开口向上，竖直浸入盛水大容器中；
（2）在试管中加水，先加一定量的水，待试管平衡后，用尺量出l_c、l_z，然后不断地加水，始终保持试管平衡，测得多组l_c、l_z记入表中；
（3）把试管中的水倒掉，并用吸水棉和吸水纸将试管擦干，在试管中滴入待测密度的油，重复上述过程；
（4）作图求解油的密度．

表1		表2
管中加水		管中加油
lc（cm）	lz（cm）	lc（cm）	lz（cm）
3.70	11.70	5.70	12.50
4.50	12.30	6.00	12.60
4.90	12.60	6.00	12.80
5.20	12.90	6.40	13.00
5.30	13.00	6.80	13.30
5.70	13.30	7.20	13.50

请你根据上述实验步骤，推导出求解油密度的关系式，并利用表中的数据，通过在图乙中作图求出油的密度．

Answer 1

设，试管内部的横截面积为S_c，试管外部的横截面积为S_z，试管底到管外水面的距离为l_z，管内液体的高度为l_c，水的密度为ρ，管内液体的密度为ρ_内，试管的质量为M，则：
试管受到的浮力F_浮=ρgV_排=ρgS_zl_z，
由ρ=(m)/(V)可得试管内液体的重力为G_内=m_内g=ρ_内V_内g=ρ_内S_cl_cg，
试管的重力G_M=Mg，
因始终保持试管平衡，即漂浮，
所以，F_浮=G_内+G_M，ρgS_zl_z=ρ_内S_cl_cg+Mg，
即l_z=(ρ内Sc)/(ρSz)l_c+(M)/(ρSz)，
管内为水时的斜率k₁=(Sc)/(Sz)，管内为油时的斜率k₂=(ρ内Sc)/(ρSz)=(ρ内)/(ρ)×(Sc)/(Sz)=(ρ内)/(ρ)×k₁，
则油的密度ρ_内=(k2)/(k1)ρ，
利用描点法结合表中数据做出l_c-l_z的图象如下图所示：

取（3.70 11.70）和（5.30 13.00）两点计算左图的斜率k₁=(13.00−11.70)/(5.30−3.70)=0.8125，
取（5.70 12.50）和（7.20 13.50）两点计算左图的斜率k₂=(13.50−12.50)/(7.20−5.70)=0.6667，
则由的密度：ρ_内=(k2)/(k1)ρ=(0.6667)/(0.8125)×1g/cm³≈0.82g/cm³．
答：油密度的关系式为ρ_内=(k2)/(k1)ρ，大小为0.82g/cm³．