如何证明x^m(1-x)^n的定积分和x^n(1-x)m的定积分在0到1上是相等的?

Question

如何证明x^m(1-x)^n的定积分和x^n(1-x)m的定积分在0到1上是相等的?

Answer 1

证明:
∫(1,0)x^m (1-x)^n dx = ∫(1,0)x^n (1-x)^m dx
设： y=1-x,x=1-y dx=-dy x：[0,1] -> y：[1,0] //: 变量替换,改变积分上下限；
于是： ∫(1,0)x^m (1-x)^n dx
= - ∫(0,1) (1-y)^m y^n dy //: 去掉负号,交换积分上下限；
= ∫(1,0) y^n (1-y)^m dy //：改变积分变量的符号,积分值不变.
= ∫(1,0) x^n (1-x)^m dx
即： ∫(1,0)x^m (1-x)^n dx = ∫(1,0)x^n (1-x)^m dx