证明x*2^x=1在（0,1）内至少有一个根

Question

证明x*2^x=1在（0,1）内至少有一个根

Answer 1

设f(x) = x2^x - 1
f'(x) = 2^x + x2^x *ln x
= 2^x ( 1 + xln2)
因为 0 0 ,xln2>0
所以 f'(x) > 0
所以 f(x)单调递增
而f(0) = -1,f(1) = 1
所以 一定存在一个点m,使得 f(m)=0,0