高数,证明arcsinx的连续性（用定义证明）

Question

高数,证明arcsinx的连续性（用定义证明）

Answer 1

用定义证明连续性,关键就是不等式放缩.
这里用到不等式(可用面积证明):对0 < x < π/2,有0 < x < tan(x) ①.
另外,为了放缩的比较简洁,用不等式(可移项平方证明):
对0 ≤ a ≤ b,有0 ≤ √b-√a ≤ √(b-a),
推论是对任意a,b ≥ 0,有|√b-√a| ≤ √(|b-a|) ②.
对任意-1 ≤ y < x ≤ 1,并满足x-y < 1/4,
有0 < sin(arcsin(x)-arcsin(y)) = x·cos(arcsin(y))-y·cos(arcsin(x)) = x√(1-y^2)-y√(1-x^2),
从而sin(arcsin(x)-arcsin(y)) = |x√(1-y^2)-y√(1-x^2)|
≤ ||x√(1-y^2)|-|y√(1-x^2)|| (绝对值不等式)
= |√(x^2-x^2y^2)-√(y^2-x^2y^2)|
≤ √(|(x^2-x^2y^2)-(y^2-x^2y^2)|) (由②)
= √(|x^2-y^2|)
= √(x-y)·√(|x+y|)
≤ √(2(x-y)).
由0 < x-y < 1/4,有0 < sin(arcsin(x)-arcsin(y)) < √2/2,
于是0 < arcsin(x)-arcsin(y) < π/4 (易证3π/4 < arcsin(x)-arcsin(y) < π不能成立),
可得cos(arcsin(x)-arcsin(y)) > √2/2,
从而tan(arcsin(x)-arcsin(y)) = sin(arcsin(x)-arcsin(y))/cos(arcsin(x)-arcsin(y))
< √(2(x-y))/(√2/2)
= 2√(x-y),
因此由①得0 < arcsin(x)-arcsin(y) < 2√(x-y).
对任意0 < ε < 1,存在δ = ε^2/4 < 1/4,
当-1 ≤ y < x ≤ 1,并满足x-y < δ时,总成立:
0 < arcsin(x)-arcsin(y) < 2√(x-y) < 2√δ = ε,
这样就证明了arcsin(x)在[-1,1]一致连续,当然也是连续的.