已知连续函数fx在[a,b]上单调增加证明T(X)=1/(x-a)∫f(t)dt[a积到x]在[a,b]上单调增加

Question

已知连续函数fx在[a,b]上单调增加 证明T(X)=1/(x-a) ∫f(t)dt[a积到x]在[a,b]上单调增加

Answer 1

要证明F(x)在(a,b]上也单调递增,只需证明F(x)的导数F'(x)>0即可,证明如下：
(注：过程中如果有积分的话上限都是x,下限都是a)
证：对F(x)求导得：F'(x)=[f(x)(x-a)-∫f(t)dt]/(x-a)²
由积分中值定理可知,存在a于是F'(x)=[f(x)(x-a)-f(ξ)(x-a)]/(x-a)²=[f(x)-f(ξ)]/(x-a)
又因为f(x)在(a,b]上单调递增,所以f(x)>f(ξ),而显然x>a
所以：F'(x)=[f(x)-f(ξ)]/(x-a)>0
所以F(x)在(a,b]上也单调递增.
证毕.