证明恒等式:A11+2A22+3A33······nAnn=(n+1)!-1

Question

证明恒等式:A11+2A22+3A33······nAnn=(n+1)!-1

Answer 1

数学归纳法证简单
因为A(n,n)=n!
所以相当于要证1*1!+2*2!+3*3!+……+n*n!= (n+1)!-1
（1）当n=1时显然成立
（2）假设当n=k时等式成立,即1*1!+2*2!+3*3!+……+k*k!= (k+1)!-1
则当n=k+1时有
1*1!+2*2!+3*3!+……+k*k!+(k+1)*(k+1)!= (k+1)!-1+(k+1)*(k+1)!
=(1+k+1)*(k+1)!-1=(k+2)!-1
于是对任意自然是n恒等式均成立.