设a,b,c都不为零,且a+b+c=2,1/a+1/b+1/c=1/2,证明：a,b,c中至少有一个为2

Question

设a,b,c都不为零,且a+b+c=2,1/a+1/b+1/c=1/2,证明：a,b,c中至少有一个为2

Answer 1

由已知去分母得：
2(ab+bc+ca)=abc
所以：
(a-2)(b-2)(c-2)
=(ab-2a-2b+4)(c-2)
=c(ab-2a-2b+4)-2(ab-2a-2b+4)
=abc-2ca-2bc+4c-2ab+4a+4b-8
=abc-2(ca+bc+ab)+4(a+b+c)-8
=abc-abc+8-8
=0
由于(a-2)、(b-2)、(c-2)的乘积为0,所以三者之中至少有一个为0,也就是说,三者之中至少有一个等于2.