线性代数证明题设a1,a2,a3为n阶方阵的3个特征向量,且对应的特征值互不相同,记β=a1+a2+a3.证明：β,Aβ,(A^2)β线性无关.

Question

线性代数证明题
设a1,a2,a3为n阶方阵的3个特征向量,且对应的特征值互不相同,记β=a1+a2+a3.
证明：β,Aβ,(A^2)β线性无关.

Answer 1

设a1,a2,a3对应的特征值分别是x1,x2,x3
β=a1+a2+a3.
Aβ=A(a1+a2+a3)=x1a1+x2a2+x3a3
(A^2)β=(A^2)(a1+a2+a3)=(x1^2)a1+(x2^2)a2+(x3^2)a3
把这3个向量放在一起组成矩阵
[β,Aβ,(A^2)β]
=M*N
=
[a1,a2,a3]*
1 x1 x1^2
1 x2 x2^2
1 x3 x3^2
我们只要证明行列式|β,Aβ,(A^2)β|不为0就行了.
|β,Aβ,(A^2)β|=|M|*|N|
|M|自然不为0,因为a1,a2,a3是不同特征值的特征向量,是线性无关的,所以|M|不为0
|N|也不为0,因为|N|是一个范德蒙行列式,它的值是连乘积的形式,又由于x1,x2,x3各不相同,所以(x1-x2),(x2-x3),(x1-x3)都不是0,那么连乘积也不为0.
综上,|β,Aβ,(A^2)β|不为0,所以β,Aβ,(A^2)β线性无关