设A，B是任意二事件，其中A的概率不等于0和1，证明P（B|A）=P（B|.A）是事件A与B独立的充分必要条件．

Question

设A，B是任意二事件，其中A的概率不等于0和1，证明P（B|A）=P（B|

.

A

）是事件A与B独立的充分必要条件．

Answer 1

证明：必要性
由于事件A与B独立，知道事件

A

与B也独立，因此
P(B|A)＝P(B|

A

)
充分性
由P(B|A)＝P(B|

A

)，可见
(P(AB))/(P(A))＝(P(AB))/(PA)＝(P(B)−P(AB))/(1−P(A))
所以P（AB）=P（A）P（B）
因此A与B独立．