设A=[a1a2…an]≠0(n＞1).证明：（ATA）X=O有非零解.1.证明：r[A^tA]=1;2.求|A^tA|3.（ATA）X=O有非零解.

Question

设A=[a1 a2 … an]≠0(n＞1).证明：（ATA）X=O有非零解.
1.证明：r[A^tA]=1;
2.求|A^tA|
3.（ATA）X=O有非零解.

Answer 1

知识点: r(AB)<= min{r(A),r(B)}
证明: (1)因为 A≠0, 所以 A^TA≠0, 所以 r(A^TA)>=1
又 r(A^TA) <= r(A) <= 1
所以 r(A^TA) = 1
(2) 因为 A^TA 是 n阶方阵, r(A^TA)=1 所以 |A^TA| = 0.
(3) (A^TA)X=0 有非零解的充分必要条件是 |A^TA| = 0
由(2)知, (A^TA)X=0 有非零解.