期望的一个公式证明一对于满足二项分布的,求证方差：Dξ=npq（其中Dξ是方差,p是概率,p+q=1）

Question

期望的一个公式证明
一对于满足二项分布的,求证方差：Dξ=npq（其中Dξ是方差,p是概率,p+q=1）

Answer 1

因为Eξ=∑（k从0到n)k*(Cnk)*(p^k)*(q^(n-k))=np
而E(ξ^2)=∑（k从0到n)(k^2)*(Cnk)*(p^k)*(q^(n-k))=∑（k从0到n)k*(Cnk)*(p^k)*(q^(n-k))+∑(k从1到n)k*(k-1)*(Cnk)*(p^k)*(q^(n-k))=np+∑（k从2到n)n* (n-1)*(C(n-2)*(k-2))*(p^(k-2))*(q(n-k))*(p^2)
=np+n(n-1)(p^2)
所以Dξ=E（ξ^2）-(Eξ）^2=np+n^2*p^2-np^2-n^2*p^2=np(1-p)=npq