证明：xln1+x1−x+cosx≥1+x22，−1＜x＜1．

Question

证明：xln(1+x)/(1−x)+cosx≥1+(x2)/(2)，−1＜x＜1．

Answer 1

令f(x)＝xln(1+x)/(1−x)+cosx−1−(x2)/(2)，−1＜x＜1
因为f（-x）=f（x），所以只讨论当x≥0的时候即可．
又f'（x）=ln(1+x)/(1−x)+x•(1−x)/(1+x)•(1−x+(1+x))/((1−x)2)−sinx−x
=ln(1+x)/(1−x)+(2x)/(1−x2)−sinx−x，0≤x＜1
f''（x）=(1−x)/(1+x)•(1−x+1+x)/((1−x)2)+(2(1−x2)−2x(−2x))/((1−x2)2)−cosx−1
=(2)/(1−x2)+(2+2x2)/((1−x2)2)−cosx−1
=(4)/((1−x2)2)−cosx−1，  0≤x＜1
f″′(x)＝(−4×2(1−x2)(−2x))/((1−x2)4)+sinx
=(16x(1−x2))/((1−x2)4)+sinx
当x∈[0，1）时，f'''（x）≥0，从而f''（x）单调递增，则f''（x）≥f''（0）=2＞0，
所以当x∈[0，1）时，f'（x）单调递增，即f'（x）≥f'（0）=0，
所以当x∈[0，1）时，f（x）单调递增，f（x）≥f（0）=0．x∈[0，1）
所以当-1≤x≤1时，f（x）≥0，即xln(1+x)/(1−x)+cosx≥1+(x2)/(2)，−1＜x＜1．