设ABC为三个事件,且有P(A丨C)>=P(B丨C),P(A丨C的对立)>=P(B丨C的对立),证明P(A)>=P(B)

Question

设A B C为三个事件,且有P(A丨C)>=P(B丨C),P(A丨C的对立)>=P(B丨C的对立),证明P(A)>=P(B)

Answer 1

由定义 P(A|C)=P(AC)/P(C), P(B|C)=P(BC)/P(C)
因此由 P(A|C)>=P(B|C)=> P(AC)/P(C)>=P(BC)/P(C) 再由 P(C)>0 可得
P(AC)>=P(BC).(1)
同理可得：
P(AC的对立)>=P(BC的对立).(2)
又由于
P(A)=P(AC+AC的对立)=P(AC)+P(AC的对立).(3)
P(B)=P(BC+BC的对立)=P(BC)+P(BC的对立).(4)
结合(1)(2)(3)(4) 即得 P(A)>=P(B)