怎样证明1,t,t^2,...,t^(n-1)线性无关n为正整数

Question

怎样证明1,t,t^2,...,t^(n-1)线性无关
n为正整数

Answer 1

设 f(t)=a0+a1t+a2t^2+……+a(n-1)t^(n-1)=0
在 t=0这点：
f(t)=0 => a0=0
f'(t)=0 => a1=0
f''(t)=0 => a2=0
……
(d/dt)^n-1(f)=0 => a(n-1)=0 （(d/dt)^n-1表示 n-1 阶求导）
所以他们线性无关，
其实这就是幂级数，说明泰勒展开中的幂级数簇是一组线性无关的函数簇。