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证明:(cosa/1+sina)-(sina/1+cosa)=2(cosa-sina)/1+sina+cosa
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证明:(cos a/1+sin a)-(sin a/1+cos a)=2(cos a-sin a)/1+sin a+cos a
▼优质解答
答案和解析
建议适当加括号避免歧义:
cosα/(1+sinα)-sinα/(1+cosα) = 2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα).
比较容易想的办法是逆推.
欲证原式成立,只要证明
(1+sinα+cosα)·cosα/(1+sinα)-(1+sinα+cosα)·sinα/(1+cosα) = 2(cosα-sinα).
由(1+sinα+cosα)/(1+sinα) = cosα/(1+sinα)+1,
以及(1+sinα+cosα)/(1+cosα) = sinα/(1+cosα)+1,
只要证明cos²α/(1+sinα)-sin²α/(1+cosα) = cosα-sinα.
而cos²α = 1-sin²α = (1-sinα)·(1+sinα),
sin²α = 1-cos²α = (1-cosα)·(1+cosα),
故上式左端 = (1-sinα)-(1-cosα) = cosα-sinα = 右端,即得证.
顺推本质上是一样的,稍微复杂一点.
左端 = cosα/(1+sinα)-sinα/(1+cosα)
= (cosα·(1+cosα)-sinα·(1+sinα))/((1+sinα)·(1+cosα))
= (cosα-sinα+cos²α-sin²α)/((1+sinα)·(1+cosα))
= (cosα-sinα)·(1+cosα+sinα)/((1+sinα)·(1+cosα))
= (cosα-sinα)·(1+cosα+sinα)²/((1+sinα)·(1+cosα)·(1+cosα+sinα))
= (cosα-sinα)·(cos²α+sin²α+1+2cosα+2sinα+2sinα·cosα)/((1+sinα)·(1+cosα)·(1+cosα+sinα))
= 2(cosα-sinα)·(1+cosα+sinα+sinα·cosα)/((1+sinα)·(1+cosα)·(1+cosα+sinα))
= 2(cosα-sinα)·(1+sinα)·(1+cosα)/((1+sinα)·(1+cosα)·(1+cosα+sinα))
= 2(cosα-sinα)/(1+cosα+sinα)
= 右端.
得证.
cosα/(1+sinα)-sinα/(1+cosα) = 2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα).
比较容易想的办法是逆推.
欲证原式成立,只要证明
(1+sinα+cosα)·cosα/(1+sinα)-(1+sinα+cosα)·sinα/(1+cosα) = 2(cosα-sinα).
由(1+sinα+cosα)/(1+sinα) = cosα/(1+sinα)+1,
以及(1+sinα+cosα)/(1+cosα) = sinα/(1+cosα)+1,
只要证明cos²α/(1+sinα)-sin²α/(1+cosα) = cosα-sinα.
而cos²α = 1-sin²α = (1-sinα)·(1+sinα),
sin²α = 1-cos²α = (1-cosα)·(1+cosα),
故上式左端 = (1-sinα)-(1-cosα) = cosα-sinα = 右端,即得证.
顺推本质上是一样的,稍微复杂一点.
左端 = cosα/(1+sinα)-sinα/(1+cosα)
= (cosα·(1+cosα)-sinα·(1+sinα))/((1+sinα)·(1+cosα))
= (cosα-sinα+cos²α-sin²α)/((1+sinα)·(1+cosα))
= (cosα-sinα)·(1+cosα+sinα)/((1+sinα)·(1+cosα))
= (cosα-sinα)·(1+cosα+sinα)²/((1+sinα)·(1+cosα)·(1+cosα+sinα))
= (cosα-sinα)·(cos²α+sin²α+1+2cosα+2sinα+2sinα·cosα)/((1+sinα)·(1+cosα)·(1+cosα+sinα))
= 2(cosα-sinα)·(1+cosα+sinα+sinα·cosα)/((1+sinα)·(1+cosα)·(1+cosα+sinα))
= 2(cosα-sinα)·(1+sinα)·(1+cosα)/((1+sinα)·(1+cosα)·(1+cosα+sinα))
= 2(cosα-sinα)/(1+cosα+sinα)
= 右端.
得证.
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