设K>0使得ln(1/An)>=(1+K)lnn(n>=N),其中An>0,证明An收敛

Question

设K>0使得ln(1/An)>=(1+K)lnn(n>=N),其中An>0,证明An收敛

Answer 1

由ln(1/An)=(1＋k)lnn得1/An=n^(1＋k),即An=1/n^(1＋k)；An的部分和sn=1/1^(1＋k)＋1/2^(1＋k)＋1/3^(1＋k)＋1/4^(1＋k)＋...＋1/n^(1＋k),显然有sn＜1＋∫(1→n)[1/x^(1＋k)]dx,即sn＜1＋(1/k)(1-1/n^k),当n→＋∞时,sn→1＋1/k,所以An收敛.