x->正无穷lim(x/(1+x))^x=1/e是怎么算出来的?

Question

x->正无穷lim (x/(1+x))^x=1/e是怎么算出来的?

Answer 1

利用重要极限lim【x→+∞】(1+1/x)^x=e即可
lim【x→+∞】(x/(1+x))^x）
=lim【x→+∞】[1-1/(1+x)]^{[-(1+x)]*[-x/(1+x)]}
令1+x=t,则当x→+∞时,有t→+∞
所以上式=lim【x→+∞】[1+(-1/t)]^[(-t)*(-1)]
=e^(-1)
其中[-x/(1+x)]→-1,x→+∞