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x->正无穷lim(x/(1+x))^x=1/e是怎么算出来的?
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x->正无穷lim (x/(1+x))^x=1/e是怎么算出来的?
▼优质解答
答案和解析
利用重要极限lim【x→+∞】(1+1/x)^x=e即可
lim【x→+∞】(x/(1+x))^x)
=lim【x→+∞】[1-1/(1+x)]^{[-(1+x)]*[-x/(1+x)]}
令1+x=t,则当x→+∞时,有t→+∞
所以上式=lim【x→+∞】[1+(-1/t)]^[(-t)*(-1)]
=e^(-1)
其中[-x/(1+x)]→-1,x→+∞
lim【x→+∞】(x/(1+x))^x)
=lim【x→+∞】[1-1/(1+x)]^{[-(1+x)]*[-x/(1+x)]}
令1+x=t,则当x→+∞时,有t→+∞
所以上式=lim【x→+∞】[1+(-1/t)]^[(-t)*(-1)]
=e^(-1)
其中[-x/(1+x)]→-1,x→+∞
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