证明e^x-1与x是等价无穷小,为什么令u=e^x-1后,limu/ln(u+1)=1/limln(1+u)^1/u?

Question

证明e^x-1与x是等价无穷小,为什么令u=e^x-1后,limu/ln(u+1)=1/limln(1+u)^1/u?

Answer 1

首先把u放到分母上,即分子分母同除u,得lim{1/[(1/u)*ln(1+u)]},根据极限运算法则知它等于1/lim[(1/u)*ln(1+u)],再根据对数的运算法则alnx=lnx^a,(1/u)*ln(1+u)就等于ln(1+u)^(1/u)了.