用残数理论计算∫f(x)dx(积分区间为0到正无穷）f(x)=x^2/(x^2+1)(x^2+9)

Question

用残数理论计算∫f(x)dx (积分区间为0到正无穷） f(x)=x^2/(x^2+1)(x^2+9)

Answer 1

残数理论就是留数理论（我现在教的）,由于被积函数是偶函数,故∫f(x)dx (积分区间为0到正无穷=1/2∫f(x)dx (积分区间为负无穷到正无穷）,f(z)=z^2/(z^2+1)(z^2+9),其位于上半平面的奇点是：i,3i(均是单极点),则∫f(x)dx (积分区间为0到正无穷=1/2∫f(x)dx (积分区间为负无穷到正无穷）=ipai{Res[f(z),i]+Res[f(z),3i]}=ipai*{i^2/(i+i)(i^2+9)+(3i)^2/[(3i)^2+1](3i+3i)}=1/8pai