已知在2010个互不相等的有理数中，每2009个数的和都是分母为4022的既约真分数，求这2010个有理数的和．

Question

已知在2010个互不相等的有理数中，每2009个数的和都是分母为4022的既约真分数，求这2010个有理数的和．

Answer 1

设2010个互不相等的有理数分别为x₁，x₂，…，x₂₀₁₀，不妨设

x1+x2+…+x2009＝(1)/(4022)①

x2+x3+…+x2010＝(3)/(4022)②

x3+x4+…+x2010+x1＝(5)/(4022)③

…

x2010+x1+…+x2008＝(4021)/(4022)

①+②+③+…+2010，得，
2009（x₁+x₂+…+x₂₀₁₀）=(1+3+5+…+2009+2013+…+4021)/(4022)，
=(1)/(4022)[((1+4021)×2011)/(2)−2011]=(1)/(4022)（2011×2011-2011），
=(1)/(4022)×2011（2011-1）=1005，
∴x₁+x₂+…+x₂₀₁₀=(1005)/(2009)．