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如何证明根号下17是无理数?
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如何证明根号下17是无理数?
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答案和解析
假设根号17是有理数,
设根号17=p/q,
其中,p,q是正的自然数且互质.
则p^2=17q^2
所以p^2可以被17整除,
所以p也能被17 整除
设p=17*n(n是正的自然数)
则17q^2=p^2=289n^2
所以q^2=17n^2
这样 q^2也能被17整除,q也能被17整除
因此p与q有公因子17.
这与p,q互质相矛盾
从而 证明了根号17为无理数.
设根号17=p/q,
其中,p,q是正的自然数且互质.
则p^2=17q^2
所以p^2可以被17整除,
所以p也能被17 整除
设p=17*n(n是正的自然数)
则17q^2=p^2=289n^2
所以q^2=17n^2
这样 q^2也能被17整除,q也能被17整除
因此p与q有公因子17.
这与p,q互质相矛盾
从而 证明了根号17为无理数.
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