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己知a的平方等于5,请证明a是无理数
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己知a的平方等于5,请证明a是无理数
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答案和解析
假定a是有理数,则a可以表示成两个整数的商,令
a=m/n且这是最简分数,也就是m,n互质
所以(m/n)^2=5
m^2 =5n^2
所以5整除m
所以可以表示为m=5m'
所以25m'^2 =5n^2
所以5m'^2 =n^2
所以5整除n
所以m,n有公约数5,与假设矛盾
所以得证
a=m/n且这是最简分数,也就是m,n互质
所以(m/n)^2=5
m^2 =5n^2
所以5整除m
所以可以表示为m=5m'
所以25m'^2 =5n^2
所以5m'^2 =n^2
所以5整除n
所以m,n有公约数5,与假设矛盾
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