无理数和有理数为什么无理数比有理数多?

Question

无理数和有理数
为什么无理数比有理数多?

Answer 1

如果楼主是中学生的话,这个问题可能有点深奥,我尽量用最通俗的语言解释.
有理数和无理数同样都是无穷多个,但是无穷多有很多种,比如自然数有无穷多个,实数也有无穷多个.在研究有限多个东西的时候,如何比较哪个多呢?最基本的思想是找一种一一对应的关系.这种方法可以用来研究无限多的情况：当A里面可以找到一种关系和B一一对应的时候,A、B东西就一样多（注意,只要找到一种关系就可以）；当不能找到的时候,哪里剩下东西了哪里就多.下面举两个例子：
①比如A集合有{苹果、梨子、香蕉},B集合有{苹果、梨子},A和B里面谁的水果种类多?那就要建立一一对应,A的苹果和B的苹果对应上了,A的梨子和B的梨子对应上了,这时候B里面的东西已经全部用光了,A里面还有“香蕉”没用掉,所以A比B里面的东西多.而且你无论如何也找不到一种对应关系使得A、B里面东西都完全匹配一个也不剩下.
②A是自然数{0,1,2…}B是偶数{0,2,4…},当然可以说A的0对应B的0,A的2对应B的2……都对应下去,所以A里面剩下1、3、5……,貌似是A比B里面东西多.但是别忘了只要能找到一种关系让它们一个都不剩,就说是一样多.实际上可以A里面0对应B的0,A的1对应B的2,A的2对应B的4……这样一个都不剩下全部一一对应,所以自然数和偶数一样多.
然后就用这种思路来比有理数和无理数,这需要借助一个中间桥梁,就是自然数.有理数总能写成分数p/q的形式,p、q都是整数,所以有理数相当于一个坐标(p,q),数学上可以证明它和自然数可以建立一一对应的关系（也就是说有理数和自然数一样多）；但是又可以证明无理数和自然数绝对不可能找打一种对应关系,全部都对上,无理数绝对要比自然数多.所以无理数比有理数多.