若两位数的平方只有十位上的数字是0,则这样的两位数共有多少个?

Question

若两位数的平方只有十位上的数字是0,则这样的两位数共有多少个?

Answer 1

只有十位上的数字为0,那么个位上肯定不是0.
排除10.20.30.40.50.60.70.80.90
记这个两位数为A,设为10a+b.
显然地,b≠0,所以1≤a≤9,1≤b≤9.
将这个数平方,A²=(10a+b)²=100a²+20ab+b²
显然地,决定A²十位上是否为0与100a²无关.
所以我们讨论20ab+b²,为了方便记这个数为B.
我们可以通过枚举法来计算、
当b取不同值时,即b分别从1取值到9,b²的取值也不同、
显然地,要满足B的十位数字为0
那么20ab的十位数字当b为1~9时有不同的需求,记20ab十位上的数字需要满足的数字为C
要决定20ab+b²的十位是否为0因为是2个式子的和,只需满足20ab和b²这两个的十位数字和值为0或者10,也就是说C和b²的十位数字的和为10或者0(当为0时表示这两个数的十位数字都是0).
列出一个表格形式
b 1 2 3 4 5 6 7 8 9
b² 01 04 09 16 25 36 49 64 81
C 0 0 0 9 8 7 6 4 2
20b 20 40 60 80 100 120 140 160 180
根据这个表格我们只要得出20a,40a,60a,100a,120a,140a,160a,180a
这些数字的十位数字分别为0,0,0,9,8,7,6,4,2即可
延续上表格可以得出a的不同取值
a 5 5 5 x x x 4,9 4,9 4,9
所以这个两位可以是51,52,53,47,97,48,98,49,99总共9个、
同样地,当一个数字的平方的十位数字是0,那么这个数的最后两位必须是上面的9个、