一个多位数,把个位数调到第一位,组成的数是原来的2倍,这个数是?没有什么要补充,就是在下午之前有个正确答案!

Question

一个多位数,把个位数调到第一位,组成的数是原来的2倍,这个数是?
没有什么要补充,就是在下午之前有个正确答案!

Answer 1

以下t>0
(210526315789473684共t个)=(105263157894736842共t个)*2
(315789473684210526共t个)=(157894736842105263共t个)*2
(421052631578947368共t个)=(210526315789473684共t个)*2
(526315789473684210共t个)=(263157894736842105共t个)*2
(631578947368421052共t个)=(315789473684210526共t个)*2
(736842105263157894共t个)=(368421052631578947共t个)*2
(842105263157894736共t个)=(421052631578947368共t个)*2
(947368421052631578共t个)=(473684210526315789共t个)*2
(105263157894736842共t个)=(052631578947368421共t个)*2
(这个答案要用特别理解,要在首位添上0)
设原数有n+1位,前n位数字组成的数记为a,个位为b.
依题意,(10a+b)*2=10^n*b+a,即(10^n-2)b=19a
因为a,b<10,19为质数,故10^n-2被19整除.
(方法1)由数论知识易知10^18除以19余1,相当于20除以19,
故其前面的10^17除以19余2.(方法1)
(方法2)观察1/19=0.052631578947368421052631578947368…,
循环节052631578947368421(方法2)
(方法3)或计算10^n除以19的余数序列：
n=0,1,2,3,4,...,17,18
余数：1,10,5,12,6,3,11,15,17,18,9,14,7,13,16,8,4,2,1(方法3)
用以上三种方法(1 2 3)之一(它们也可以相互为用,灵活借助以利计算)可知：
可取a=(10^(17+18k)-1)b/19=(052631578947368421共k个)05263157894736842*b
取b=1,2,...,9得到答案.
附注：容易见到以上方法2与方法3的关系：
循环节相应位值*2+后一位除以2的余数=余数序列相应值.
亦即：循环节相应位值=余数序列相应值除以2所得商值
循环节n+1位值=(循环节n位值+10*循环节n位值除以2的余数)/2
余数第n+1位=第n位*10除以19的余数=第n位/2(除不尽,视带分数x又1/2为x+10)
当然从后面往前面推也可以：1,2,4,6,16,16+16-19>13,13-6->7,14,14-5>9,18,18-1>17,17-2>15,15-4>11,22-19>3,6,12,24>5,10