设点P、Q分别是曲线y=xe-x（e是自然对数的底数）和直线y=x+3上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为．

Question

设点P、Q分别是曲线y=xe^-x（e是自然对数的底数）和直线y=x+3上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为___．

Answer 1

∵点P是曲线y=xe^-x上的任意一点，和直线y=x+3上的动点Q，
求P，Q两点间的距离的最小值，就是求出曲线y=xe^-x上与直线y=x+3平行的切线与直线y=x+3之间的距离．
由y′=（1-x）e^-x ，令y′=（1-x）e^-x =1，解得x=0，
当x=0，y=0时，点P（0，0），
P，Q两点间的距离的最小值，即为点P（0，0）到直线y=x+3的距离，
∴d_min=(|3|)/(√(2))=(3√(2))/(2)．
故答案为：(3√(2))/(2)．