如图，两根电阻不计的平行光滑金属导轨相距L=0.5m水平放置，一端与阻值R=0.3Ω的电阻相连．导轨x>0一侧存在沿x方向变化的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，x=0处磁场的磁感应强度B0=1T．

Question

如图，两根电阻不计的平行光滑金属导轨相距L=0.5m水平放置，一端与阻值R=0.3Ω的电阻相连．导轨x>0一侧存在沿x方向变化的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，x=0处磁场的磁感应强度B₀=1T．一根质量m=0.1kg、电阻r=0.1Ω的金属棒垂直置于导轨上．棒在外力作用下从x=0处以初速度v₀=2m/s沿导轨向右运动，运动过程中速度v与位移x满足v=(2)/(x+1)关系，通过电阻的电流保持不变．求：

（1）金属棒运动过程中通过电阻R的电流；
（2）导轨x>0一侧磁感应强度B_x随x变化关系；
（3）金属棒从x=0运动到x=2m过程中电阻R上产生的热量；
（4）金属棒从x=0运动到x=2m过程中外力的平均功率．

Answer 1

（1））开始时棒产生的电动势为：
E=B₀Lv₀=1×0.5×2=1V              
由闭合电路欧姆定律得回路中的感应电流为：
I=(E)/(R+r)=(1)/(0.3+0.1)A=2.5A           
（2）由通过电阻的电流保持不变，可知金属棒切割磁感线产生的感应电动势始终相等，所以有：B₀Lv₀=B_xLv_x，
解得：Bx=(B0v0)/(vx)=(1×2)/((2)/(x+1))=x+1
（3）金属棒在x处所受安培力的大小为：
F=B_xIL=（x+1）IL=1.25+1.25x
由于安培力与x成线性变化，所以在x=0到x=2m过程中克服安培力做功为：
W=(F0+F2)/(2)•x=(1.25+3.75)/(2)×2J=5J 
克服安培力做功等于在此过程中回路中产生的热量：Q=W=5J 
因此电阻R上产生的热量：Qx=(3)/(4)Q=(3)/(4)×5J=3.75J
（4）设x=0到x=2m过程外力的平均功率为

.

P

，x=2m时金属棒的速度为：
v2=(2)/(x+1)=(2)/(3)m/s
通过电阻的电流保持不变，有：QR=I2Rt
因此x=0到x=2m过程用时：t=(QR)/(I2R)=(3.75)/(2．52×0.3)s=2s 
由动能定理有：

.

P

t-W=(1)/(2)m

v

2 2

-(1)/(2)m

v

2 0

因此 

.

P

=(0.5×0.1×((4)/(9)-4)+5)/(2)≈2.41W
答：（1）金属棒运动过程中通过电阻R的电流是2.5A；
（2）导轨x>0一侧磁感应强度B_x随x变化关系为B_x=x+1；
（3）金属棒从x=0运动到x=2m过程中电阻R上产生的热量是3.75J；
（4）金属棒从x=0运动到x=2m过程中外力的平均功率是2.41W．