如图，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且|OB|=|OD|=6．（Ⅰ）求证：|OA|．|OC|为定值；（Ⅱ）当点A在半圆（x-2）2+y2=4（2≤x≤4）上运动时，求点C的轨迹．

Question

如图，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且|OB|=|OD|=6．
（Ⅰ）求证：|OA|．|OC|为定值；
（Ⅱ）当点A在半圆（x-2）²+y²=4（2≤x≤4）上运动时，求点C的轨迹．

Answer 1

（Ⅰ）如图，
∵|OB|=|OD|，|AB|=|AD|=|BC|=|CD|，∴O、A、C三点共线，
连结BD，则BD垂直平分线段AC，设垂足为K，于是有
|OA|•|OC|=（|OK|-|AK|）（|OK|+|AK|）
=|OK|²-|AK|²=（|OB|²-|BK|²）（|AB|²-|BK|²）
=|OB|²-|AB|²=6²-4²=20（定值）；
（Ⅱ）设C（x，y），A（2+2cosα，sinα），其中α=∠XMA（−(π)/(2)≤α≤(π)/(2)），
则∠XOC＝(α)/(2)．
∵|OA|²=（2+2cosα）²+（2sinα）²=8（1+cosα）=16cos2(α)/(2)，
∴|OA|=4cos(α)/(2)．
由（Ⅰ）的结论得：|OC|cos(α)/(2)＝5，∴x=|OC|cos(α)/(2)＝5．
从而y=|OC|sin(α)/(2)＝5tan(α)/(2)∈[-5，5]．
故点C的轨迹是一条线段，其两个短点的坐标分别为A（5，5），B（5，-5）．