如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（9，0）、B（9，12），点M、N分别是线段OB、AB上的动点，速度分别是每秒53单位、2个单位，作MH⊥OA于H．现点M、N分别从点O、A同时出发，当其中一点到达

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（9，0）、B（9，12），点M、N分别是线段OB、AB上的动点，速度分别是每秒(5)/(3)单位、2个单位，作MH⊥OA于H．现点M、N分别从点O、A同时出发，当其中一点到达端点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

（1）是否存在t的值，使四边形BMHN为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由：
（2）是否存在t的值，使△OMH与以点A、N、H为顶点的三角形相似？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在t的值，使四边形BMHN为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请探究将点N的速度改变为何值时（匀速运动），能使四边形BMHN在某一时刻为菱形．

Answer 1

∵A（9，0）、B（9，12），
∴OA=9，AB=12，由勾股定理，OB=15，
由题意得，BA⊥OA，又MH⊥OA，
∴MH∥BA，
∴(OH)/(OA)=(MH)/(AB)=(OM)/(OB)，又OM=(5)/(3)t，
∴OH=t，MH=(4)/(3)t，
（1）使四边形BMHN为平行四边形，MH=BN即可，
即(4)/(3)t=12-2t，
解得，t=3.6；
（2）当△OMH∽△HNA时，(OH)/(HA)=(MH)/(NA)，
即(t)/(9-t)=((4)/(3)t)/(2t)，解得，t=3.6；
当△OMH∽△NAH时，(OM)/(NA)=(MH)/(HA)，
即(t)/(2t)=((4)/(3)t)/(9-t)，解得，t=(27)/(11)；
（3）四边形BMHN不是菱形，
由（1）得，t=3.6时，四边形BMHN为平行四边形，
此时，MH=4.8，MB=15-(5)/(3)t=9，
∴MH≠MB，四边形BMHN不是菱形，
若四边形BMHN是菱形，则HM=MB=BN，
设点N的速度改变为x，
即(4)/(3)t=15-(5)/(3)t=12-xt，
解得，t=5，x=(16)/(15)，
当点N的速度改变为(16)/(15)时，5秒四边形BMHN为菱形．