在坐标平面任意给定9个整点,则必有一个以它们中的三个点为顶点的三角形,其重心也为整点是否成立

Question

在坐标平面任意给定9个整点,则必有一个以它们中的三个点为顶点的三角形,其重心也为整点是否成立

Answer 1

首先要把命题改一下：
在坐标平面任意给定9个整点,则必有其中的三点,其重心也为整点.
否则的话9点共线就肯定没有三角形了.
根据横坐标对3取余可分三类,分别记为
X0={(x,y):x=0(mod 3)},
X1={(x,y):x=1(mod 3)},
X2={(x,y):x=2(mod 3)},
纵坐标也同样,分别记为Y0,Y1,Y2.
于是一共可以把这些点分成9类,画到下面的9宫格里
X0∩Y0 X0∩Y1 X0∩Y2
X1∩Y0 X1∩Y1 X1∩Y2
X2∩Y0 X2∩Y1 X2∩Y2
在每一格填上这个集合的元素个数.
1)若至少有一格的元素不小于3,那么从这里取3个点就满足要求.
2)接下来考虑每一格都小于3的情形.
2.1)如果至少有一行都非零,那么从这一行每个集合里各取一点即可.
2.2)如果至少有一列都非零,那么从这一列每个集合里各取一点即可.
2.3)如果至少有一条对角线(包括X0∩Y1,X1∩Y2,X2∩Y0这种)都非零,那么从这一条对角线每个集合里各取一点即可.
可以证明这3种情况不可能都不满足(若都不满足,则至少有5个0元素,剩下4个非零元都小于3,总和不可能达到9).
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