如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的一边OA在x轴上，点B的坐标为（4，3），双曲线y=kx（x>0）交线段BC于点P（不与端点B、C重合），交线段AB于点Q（1）若P为边BC的中点，求双曲线的函数表

Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的一边OA在x轴上，点B的坐标为（4，3），双曲线y=(k)/(x)（x>0）交线段BC于点P（不与端点B、C重合），交线段AB于点Q

（1）若P为边BC的中点，求双曲线的函数表达式及点Q的坐标；
（2）求k的取值范围；
（3）连接PQ，AC，判断：PQ∥AC是否总成立？并说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∵点B坐标（4，3），
∴BC=4，AB=3，
∵PC=PB，
∴点P坐标（2，3），
∴反比例函数解析式y=(6)/(x)，
∵点Q的横坐标为4，
∴点Q的坐标为（4，(3)/(2)）．
（2）设点P坐标（x，3），则0<x<4，
把点P（x，3）代入y=(k)/(x)得到，x=(k)/(3)，
∴0<(k)/(3)<4，
∴0<k<12．
（3）结论：PQ∥AC总成立．
理由：设P（m，3），Q（4，n），则3m=4n=k，
∴(BP)/(BC)=(4-m)/(4)=(4-(k)/(3))/(4)=(12-k)/(12)，
(BQ)/(BA)=(3-n)/(3)=(3-(k)/(4))/(3)=(12-k)/(12)，
∴(BP)/(BC)=(BQ)/(BA)，
∵∠B=∠B，
∴△BPQ∽△BCA，
∴∠BPQ=∠BCA，
∴PQ∥AC．