如图A、B两点的坐标分别为A（18，0），B（8，6）点P、Q同时出发分别作匀速运动，其中点P从A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位；点Q从O出发沿OB向终点B运动，速度为每秒2个单位，当

Question

如图A、B两点的坐标分别为A（18，0），B（8，6）点P、Q同时出发分别作匀速运动，其中点P从A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位；点Q从O出发沿OB向终点B运动，速度为每秒2个单位，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
（1）坐标平面内是否存在点C，使以O、A、C为顶点的三角形与△OAB全等？请直接写出点C的坐标．
（2）设从出发起，运动了t秒钟，以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，求出此时t的值；
（3）是否存在t，使△OPQ为等腰三角形？若存在，求出运动的时间t；不存在，说明理由．

Answer 1

（1）坐标平面内存在点C，使以O、A、C为顶点的三角形与△OAB全等．理由如下：
①当△OAC≌△OAB时，C与B关于x轴对称，此时点C的坐标为（8，-6）；
②当△OAC≌△AOB时，点C可能在第一象限，也可能在第四象限，设点C的坐标为（x，y）．
∵△OAC≌△AOB，
∴S_△OAC=S_△AOB，即(1)/(2)•OA•|y|=(1)/(2)•OA•6，
∴|y|=6，y=±6．
如果点C在第一象限，如图，过点B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E，则BD=CE=6，
∵△ACE≌△OBD（HL），
∴AE=OD=8，
∴OE=OA-AE=18-8=10，
∴此时点C的坐标为（10，6）；
如果点C在第四象限，易求此时点C的坐标为（10，-6）；
即满足条件的点C的坐标为（8，-6）或（10，6）或（10，-6）；

（2）设从出发起，运动了t秒钟，以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似．
∵AP=3t，OQ=2t，
∴OP=18-3t．
分两种情况：
①如果△POQ∽△AOB，那么(OP)/(OA)=(OQ)/(OB)，
(18−3t)/(18)=(2t)/(10)，
解得t=(30)/(11)；
②如果△POQ∽△BOA，那么(OP)/(OB)=(OQ)/(OA)，
(18−3t)/(10)=(2t)/(18)，
解得t=(162)/(37)；
故以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似时，t的值为(30)/(11)秒或(162)/(37)秒；

（3）△OPQ为等腰三角形时，分三种情况：
①如果OP=OQ，那么18-3t=2t，t=(18)/(5)；
②如果PO=PQ，如图，过点P作PF⊥OQ于F，则OF=FQ=(1)/(2)OQ=(1)/(2)•2t=t．
∵在Rt△OPF中，∠OFP=90°，
∴OF=OP•cos∠POF=（18-3t）•(8)/(10)=(4)/(5)（18-3t），
∴t=(4)/(5)（18-3t），
解得t=(72)/(17)；
③如果QO=QP，如图，过点Q作QG⊥OP于G，则OG=GP=(1)/(2)OP=(1)/(2)<

作业搜用户 2017-09-24