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如图,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C(0,﹣4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0)(1)求该抛物线的解析式.(2)若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE
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如图,抛物线y= x 2 +bx+c与y轴交于点C(0,﹣4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0) (1)求该抛物线的解析式. (2)若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值. (3)若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且△OMD为等腰三角形,求M点的坐标. |
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答案和解析
如图,抛物线y= x 2 +bx+c与y轴交于点C(0,﹣4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0) (1)求该抛物线的解析式. (2)若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值. (3)若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且△OMD为等腰三角形,求M点的坐标. |
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(1)把点C(0,﹣4),B(2,0)分别代入y= x 2 +bx+c中, 得 , 解得 ∴该抛物线的解析式为y= x 2 +x﹣4. (2)令y=0,即 x 2 +x﹣4=0,解得x 1 =﹣4,x 2 =2, ∴A(﹣4,0),S △ABC = AB?OC=12.设P点坐标为(x,0),则PB=2﹣x. ∵PE∥AC, ∴∠BPE=∠BAC,∠BEP=∠BCA, ∴△PBE∽△ABC, ∴ ,即 , 化简得:S △PBE = (2﹣x) 2 . S △PCE =S △PCB ﹣S △PBE = PB?OC﹣S △PBE = ×(2﹣x)×4﹣ (2﹣x) 2 =- x 2 ﹣ x+ = - (x+1) 2 +3 ∴当x=﹣1时,S △PCE 的最大值为3. (3)△OMD为等腰三角形,可能有三种情形: (I)当DM=DO时,如答图①所示. DO=DM=DA=2, ∴∠OAC=∠AMD=45°, ∴∠ADM=90°, ∴M点的坐标为(﹣2,﹣2); (II)当MD=MO时,如答图②所示. 过点M作MN⊥OD于点N,则点N为OD的中点, ∴DN=ON=1,AN=AD+DN=3, 又△AMN为等腰直角三角形, ∴MN=AN=3, ∴M点的坐标为(﹣1,﹣3); (III)当OD=OM时, ∵△OAC为等腰直角三角形, ∴点O到AC的距离为 ×4= , 即AC上的点与点O之间的最小距离为 . ∵ >2, ∴OD=OM的情况不存在.综上所述,点M的坐标为(﹣2,﹣2)或(﹣1,﹣3). |
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