在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B

Question

在如图所示的平面直角坐标系中， △ OA ₁ B ₁ 是边长为 2 的等边三角形，作 △ B ₂ A ₂ B ₁ 与 △ OA ₁ B ₁ 关于点 B ₁ 成中心对称，再作 △ B ₂ A ₃ B ₃ 与 △ B ₂ A ₂ B ₁ 关于点 B ₂ 成中心对称，如此作下去，则 △ B _2n A _2n+1 B _2n+1 （ n 是正整数）的顶点 A _2n+1 的坐标是（　　）

　

      A ．                        （ 4n ﹣ 1 ， ）           B ． （ 2n ﹣ 1 ， ）     C ．    （ 4n+1 ， ）      D ． （ 2n+1 ， ）

Answer 1

C     ∵△ OA ₁ B ₁ 是边长为 2 的等边三角形，

∴ A ₁ 的坐标为（ 1 ， ）， B ₁ 的坐标为（ 2 ， 0 ），

∵△ B ₂ A ₂ B ₁ 与 △ OA ₁ B ₁ 关于点 B ₁ 成中心对称，

∴ 点 A ₂ 与点 A ₁ 关于点 B ₁ 成中心对称，

∵ 2 × 2 ﹣ 1=3 ， 2 × 0 ﹣ = ﹣ ，

∴ 点 A ₂ 的坐标是（ 3 ，﹣ ），

∵△ B ₂ A ₃ B ₃ 与 △ B ₂ A ₂ B ₁ 关于点 B ₂ 成中心对称，

∴ 点 A ₃ 与点 A ₂ 关于点 B ₂ 成中心对称，

∵ 2 × 4 ﹣ 3=5 ， 2 × 0 ﹣（﹣ ） = ，

∴ 点 A ₃ 的坐标是（ 5 ， ），

∵△ B ₃ A ₄ B ₄ 与 △ B ₃ A ₃ B ₂ 关于点 B ₃ 成中心对称，

∴ 点 A ₄ 与点 A ₃ 关于点 B ₃ 成中心对称，

∵ 2 × 6 ﹣ 5=7 ， 2 × 0 ﹣ = ﹣ ，

∴ 点 A ₄ 的坐标是（ 7 ，﹣ ），

… ，

∵ 1=2 × 1 ﹣ 1 ， 3=2 × 2 ﹣ 1 ， 5=2 × 3 ﹣ 1 ， 7=2 × 3 ﹣ 1 ， … ，

∴ A _n 的横坐标是 2n ﹣ 1 ， A _2n+1 的横坐标是 2 （ 2n+1 ）﹣ 1=4n+1 ，

∵ 当 n 为奇数时， A _n 的纵坐标是 ，当 n 为偶数时， A _n 的纵坐标是﹣ ，

∴ 顶点 A _2n+1 的纵坐标是 ，

∴△ B _2n A _2n+1 B _2n+1 （ n 是正整数）的顶点 A _2n+1 的坐标是（ 4n+1 ， ）．