用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形,则对平面AC上任意一点M,等式AM²+CM²=BM²+DM²成立.

Question

用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形,则对平面AC上任意一点M,等式
AM²+CM²=BM²+DM² 成立.

Answer 1

假设长方形的长为a,宽为b.
以一个顶点为原点,两条相邻的边为X轴和Y轴建立平面直角坐标系.
设点A（0,b）,点B（0,0）,点C（a,0）,点D（a,b）,点M（x,y）
则AM2+CM2=x^2+(y-b)^2+(x-a)^2+y^2
=2x^2+2y^2+a^2+b^2-2ax-2by
BM2+DM2=x^2+y^2+(x-a)^2+(y-b)^2
=2x^2+2y^2+a^2+b^2-2ax-2by
所以等式AM2+CM2=BM2+DM2成立
证毕