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如图,已知直线y=x+2与两坐标轴分别交于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过点A、B,P为直线AB上的一个动点,过P作x轴的垂线与抛物线交于C点.(1)抛物线的解析式;(2)设抛物线与x轴另一个交
题目详情
如图,已知直线y=x+2与两坐标轴分别交于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过点A、B,P为直线AB上的一个动点,过P作x轴的垂线与抛物线交于C点.
(1)抛物线的解析式;
(2)设抛物线与x轴另一个交点为D,连接AD,证明:△ABD为直角三角形;
(3)在直线AB上是否存在一点P,使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)抛物线的解析式;
(2)设抛物线与x轴另一个交点为D,连接AD,证明:△ABD为直角三角形;
(3)在直线AB上是否存在一点P,使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)令一次函数y=x+2中x=0,求出对应y的值,即为A的纵坐标,令y=0,求出对应x的值,即为B的横坐标,确定出A和B的坐标,将A和B的坐标代入y=x2+bx+c中,得到关于b与c的方程组,求出方程组的解集得到b和c的值,确定出抛物线的解析式;
(2)连接AD,如图所示,由抛物线的解析式,令y=0求出x的值,得到D的横坐标,确定出OD的长,在直角三角形AOD中,由AO及OD的长,利用勾股定理求出AD的长,再由OD+OB求出BD的长,在直角三角形AOB中,由OA与OB的长,利用勾股定理求出AB的长,由AD,AB及BD的长,得到BD2=AB2+AD2,利用勾股定理的逆定理得到三角形ABD为直角三角形;
(3)存在,由P为直线上的点设出点P的坐标,P与C的横坐标相同,进而由C在抛物线上确定出C的坐标,分三种情况考虑:当P在第一象限时,画出相应的图形,如图所示,根据平行四边形的对边相等,得到OA=CP,由OA的长得到CP的长,即为C与P纵坐标之差,列出关于x的方程,求出方程的解即可得到x的值,确定出此时P的坐标;当P在第二象限时,如图所示,根据平行四边形的对边相等得到OA=PC,由OA的长得到CP的长,即为P与C的纵坐标之差,列出关于x的方程,求出方程的解即可得到x的值,确定出此时P的坐标;当P在第四象限时,如图所示,根据平行四边形的对边相等得到OA=PC,由OA的长得到CP的长,即为P与C的纵坐标之差,列出关于x的方程,求出方程的解即可得到x的值,确定出此时P的坐标,综上,得到所有满足题意的P的坐标.
【解析】
(1)∵直线y=x+2与x轴交于点B,
∴令y=0得x+2=0,解得x=4,
∴点B的坐标为(4,0),
∵直线y=x+2与y轴交于点A,
∴令x=0,解得y=2,
∴点A的坐标为(0,2),
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A、B,
∴把(0,2),(4,0)分别代入y=x2+bx+c得:,
解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2;
(2)连接AD,如图所示:
∵抛物线与x轴另一个交点为D,
∴令y=0得-x2+x+2=0,解得x1=4,x2=-1,
又点D在x轴的负半轴上,
∴点D的坐标为(-1,0),
在直角三角形AOB中,OA=2,OB=4,
根据勾股定理得:AB2=22+42=20,
在直角三角形AOD中,OA=2,OD=1,
根据勾股定理得:AD2=22+12=5,
又BD2=(OD+OB)2=(1+4)2=25,
∴BD2=AB2+AD2,
则△ABD为直角三角形;
(3)设点P的坐标为(x,-x+2),
∵PC⊥x轴,
∴点C的横坐标为x,又点C在抛物线上,
∴点C(x,-x2+x+2),
①当点P在第一象限时,假设存在这样的点P,使AOPC为平行四边形,
则OA=PC=2,即-x2+x+2-(-x+2)=2,
化简得:x2-4x+4=0,
解得x=2或x=-2(舍去)
把x=2代入y=-x+2=1,
则点P的坐标为(2,1);
②当点P在第二象限时,假设存在这样的点P,使AOCP为平行四边形,
则OA=PC=2,即-x+2-(-x2+x+2)=2,
化简得:x2-4x-4=0,
解得:x=2+2(舍去)或x=2-2,
把x=2-2代入y=-x+2=1+,
则点P的坐标为(2-2,1+);
③当点P在第四象限时,假设存在这样的点P,使AOCP为平行四边形,
则OA=PC=2,即-x+2-(-x2+x+2)=2,
化简得:x2-4x-4=0,
解得:x=2+2或x=2-2(舍去),
把x=2+2代入y=-x+2=1-,
则点P的坐标为(2+2,1-),
综上,使以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形,
满足的点P的坐标为(2,1);(2-2,1+);(2+2
(2)连接AD,如图所示,由抛物线的解析式,令y=0求出x的值,得到D的横坐标,确定出OD的长,在直角三角形AOD中,由AO及OD的长,利用勾股定理求出AD的长,再由OD+OB求出BD的长,在直角三角形AOB中,由OA与OB的长,利用勾股定理求出AB的长,由AD,AB及BD的长,得到BD2=AB2+AD2,利用勾股定理的逆定理得到三角形ABD为直角三角形;
(3)存在,由P为直线上的点设出点P的坐标,P与C的横坐标相同,进而由C在抛物线上确定出C的坐标,分三种情况考虑:当P在第一象限时,画出相应的图形,如图所示,根据平行四边形的对边相等,得到OA=CP,由OA的长得到CP的长,即为C与P纵坐标之差,列出关于x的方程,求出方程的解即可得到x的值,确定出此时P的坐标;当P在第二象限时,如图所示,根据平行四边形的对边相等得到OA=PC,由OA的长得到CP的长,即为P与C的纵坐标之差,列出关于x的方程,求出方程的解即可得到x的值,确定出此时P的坐标;当P在第四象限时,如图所示,根据平行四边形的对边相等得到OA=PC,由OA的长得到CP的长,即为P与C的纵坐标之差,列出关于x的方程,求出方程的解即可得到x的值,确定出此时P的坐标,综上,得到所有满足题意的P的坐标.
【解析】
(1)∵直线y=x+2与x轴交于点B,
∴令y=0得x+2=0,解得x=4,
∴点B的坐标为(4,0),
∵直线y=x+2与y轴交于点A,
∴令x=0,解得y=2,
∴点A的坐标为(0,2),
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A、B,
∴把(0,2),(4,0)分别代入y=x2+bx+c得:,
解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2;
(2)连接AD,如图所示:
∵抛物线与x轴另一个交点为D,
∴令y=0得-x2+x+2=0,解得x1=4,x2=-1,
又点D在x轴的负半轴上,
∴点D的坐标为(-1,0),
在直角三角形AOB中,OA=2,OB=4,
根据勾股定理得:AB2=22+42=20,
在直角三角形AOD中,OA=2,OD=1,
根据勾股定理得:AD2=22+12=5,
又BD2=(OD+OB)2=(1+4)2=25,
∴BD2=AB2+AD2,
则△ABD为直角三角形;
(3)设点P的坐标为(x,-x+2),
∵PC⊥x轴,
∴点C的横坐标为x,又点C在抛物线上,
∴点C(x,-x2+x+2),
①当点P在第一象限时,假设存在这样的点P,使AOPC为平行四边形,
则OA=PC=2,即-x2+x+2-(-x+2)=2,
化简得:x2-4x+4=0,
解得x=2或x=-2(舍去)
把x=2代入y=-x+2=1,
则点P的坐标为(2,1);
②当点P在第二象限时,假设存在这样的点P,使AOCP为平行四边形,
则OA=PC=2,即-x+2-(-x2+x+2)=2,
化简得:x2-4x-4=0,
解得:x=2+2(舍去)或x=2-2,
把x=2-2代入y=-x+2=1+,
则点P的坐标为(2-2,1+);
③当点P在第四象限时,假设存在这样的点P,使AOCP为平行四边形,
则OA=PC=2,即-x+2-(-x2+x+2)=2,
化简得:x2-4x-4=0,
解得:x=2+2或x=2-2(舍去),
把x=2+2代入y=-x+2=1-,
则点P的坐标为(2+2,1-),
综上,使以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形,
满足的点P的坐标为(2,1);(2-2,1+);(2+2
作业搜用户
2017-01-26
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