如图，抛物线y=x2+x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；（3）若点M是直线AC下方抛物线上

Question

如图，抛物线y=x²+x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；
（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．

Answer 1

（1）由 y=0，得 x²+x-2=0 解得 x=-2 x=l，
∴A（-2，0），B（l，0），
由 x=0，得 y=-2，
∴C（0，-2）．

（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．

设直线 AC 为 y=kx+b，则-2k+b=0，b=-2：得 k=-l，y=-x-2．
对称轴为 x=-(1)/(2)，当 x=-(1)/(2)时，y=^_（-(1)/(2)）-2=-(3)/(2)，
∴P（-(1)/(2)，-(3)/(2)）．

（3）过点M作MN丄x轴与点N，

设点M（x，x²+x-2），则AN=x+2，0N=-x，0B=1，0C=2，MN=-（x²+x-2）=-x²-x+2，
S _{四边形ABCM}=S_△AOM+S_△OCM+S_△BOC=(1)/(2)（x+2）（-x²-x+2）+(1)/(2)（2-x²-x+2）（-x）+(1)/(2)×1×2
=-x²-2x+3
=-（x+1）²+4．
∵-1<0，
∴当x=^_l时，S_{四边形ABCM}的最大值为4．