如图，在直角坐标系中，M为x轴上一点，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P为BC上的一个动点，CQ平分∠PCD，且A（-1，0），M（1，0）．（1）求C点的坐标；（2）当P点运动时，线段AQ的长

Question

如图，在直角坐标系中，M为x轴上一点，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P为BC上的一个动点，CQ平分∠PCD，且A（-1，0），M（1，0）．
（1）求C点的坐标；
（2）当P点运动时，线段AQ的长度是否改变？若不变，请求其值；若改变请说明理由．

Answer 1

（1）连接MC．（1分）
由A（-1，0），M（1，0）可知，
OA=OM=1，MA=CM=2，（2分）
在Rt△OCM中，OM=1，CM=2，
根据勾股定理得：OC=√(CM2-OM2)=√(3)，
∴点C的坐标是（0，√(3)）；  （4分）
（2）当P点运动时，线段AQ的长度不改变．    （5分）
由垂径定理知：

AC

=

AD

，
∴∠P=∠ACD，（6分）
∵CQ平分∠PCD，
∴∠P+∠PCQ=∠ACD+∠DCQ，
即：∠ACQ=∠AQC，
∴AQ=AC．（7分）
在Rt△OCA中，OC=√(3)，OA=1，
∴AC=2．
线段AQ的长度为2．（8分）